【专栏】康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线（11）

实数集和自然数集无法构成一一对应？

我们只需将实数的小数位展开，并且我们假设实数集能够与自然数集一一对应，也就是说假设实数集可列，所以我们把它们与自然数一一对应列出，如下：

1 a₁₀.a₁₁a₁₂a₁₃…

2 a₂₀.a₂₁a₂₂a₂₃…

3 a₃₀.a₃₁a₃₂a₃₃…

4 …

5 …

（注：aij里面的ij是下标）

现在，我们构造一个新的实数，它的第i位小数不等于aii。也就是说，它跟上面列出的每一个实数都至少有一个对应的小数位不等，也就是说它不等于我们上面列出的所有实数，这跟我们上面假设已经列出了所有实数的说法相矛盾。所以实数集只能是不可列的，即不可与自然数集一一对应！这是对角线方法的最简单应用。

对角线方法——停机问题的深刻含义

对角线方法有很多非常奇妙的结论。其中之一就是文章一开始提到的停机问题。我想绝大多数人刚接触停机问题的时候都有一个问题，图灵怎么能够想到这么诡异的证明，怎么能构造出那个诡异的“说停机又不停机，说不停机又停机”的悖论机器。马上我们就会看到，这其实只是对角线方法的一个直接结论。

还是从反证开始，我们假设存在这样一个图灵机，他能够判断任何程序在任何输入上是否停机。由于所有图灵机构成的集合是一个可列集（也就是说，我们可以逐一列出所有的图灵机，严格证明见我以前的一篇文章《图灵机杂思》），所以我们可以很自然地列出下表，它表示每个图灵机分别在每一个可能的输入（1,2,3,…）下的输出，N表示无法停机，其余数值则表示停机后的输出：

   1 2 3 4 …

M1 N 1 N N …

M2 2 0 N 0 …

M3 0 1 2 0 …

M4 N 0 5 N …

…

M1，M2，M3 … 是逐一列出的图灵机，并且，注意，由于程序即数据，每个图灵机都有唯一编码，所以我们规定在枚举图灵机的时候Mi其实就代表编码为i的图灵机，当然这里很多图灵机将会是根本没用的玩意，但这不要紧。此外，最上面的一行1 2 3 4 … 是输入数据，如，矩阵的第一行代表M1分别在1，2，3，…上面的输出，不停机的话就是N。

我们刚才假设存在这样一个图灵机H，它能够判断任何程序在任何输入上能否停机，换句话说，H(i,j)（i是Mi的编码）能够给出“Mi(j)”是N（不停）还是给出一个具体的结果（停）。

我们现在来运用康托尔的对角线方法，我们构造一个新的图灵机P，P在1上的输出行为跟M1(1)“不一样”，在2上的输出行为跟M2(2)“不一样”，…总之P在输入i上的输出跟Mi(i)不一样。只需利用一下我们万能的H，这个图灵机P就不难构造出来，如下：

P(i):

if( H(i, i) == 1 ) then // Mi(i) halts

return 1 + Mi(i)

else // if H(i, i) == 0 (Mi(i) doesn’t halt)

return 0

也就是说，如果Mi(i)停机，那么P(i)的输出就是Mi(i)+1，如果Mi(i)不停机的话，P(i)就停机且输出0。这就保证了P(i)的输出行为跟Mi(i)反正不一样。现在，我们注意到P本身是一个图灵机，而我们上面已经列出了所有的图灵机，所以必然存在一个k，使得Mk = P。而两个图灵机相等当且仅当它们对于所有的输入都相等，也就是说对于任取的n，有Mk(n) = P(n)，现在令n=k，得到Mk(k)=P(k)，根据上面给出的P的定义，这实际上就是：

Mk(k) = P(k) =

1+Mk(k) if Mk(k) halts

0 if Mk(k) doesn’t halt

看到这个式子里蕴含的矛盾了吗？如果Mk(k)停机，那么Mk(k)=1+Mk(k)；如果Mk(k)不停机，则Mk(k)=0（给出结果0即意味着Mk(k)停机）；不管哪种情况都是矛盾。于是我们得出，不存在那样的H。

这个对角线方法实际上说明了，无论多聪明的H，总存在一个图灵机的停机行为是它无法判断的。这跟哥德尔定理“无论多‘完备’的形式化公理系统，都存在一个‘哥德尔命题’是无法在系统内推导出来的”从本质上其实是一模一样的。只不过我们一般把图灵的停机问题称为“可判定问题”，而把数学的称为“可证明问题”。

等等！如果我们把那个无法判定是否停机的图灵机作为算法的特例纳入到我们的H当中呢？我们把得到的新的判定算法记为H₁。然而，可惜的是，在H₁下，我们又可以相应地以同样的手法从H₁构造出一个无法被它（H₁）判定的图灵机来。你再加，我再构造，无论你加多少个特例进去，我都可以由同样的方式构造出来一个你无法够到的图灵机，以彼之矛，攻彼之盾。其实这也是哥德尔定理最深刻的结论之一，哥德尔定理其实就说明了无论你给出多少个公理，即无论你建立多么完备的公理体系，这个系统里面都有由你的那些公理出发所推导不到的地方，这些黑暗的角落，就是人类直觉之光才能照射到的地方！

本节我们从对角线方法证明了图灵的停机问题，我们看到，对角线方法能够揭示出某种自指结构，从而构造出一个“悖论图灵机”。实际上，对角线方法是一种有深远影响的方法，哥德尔的证明其实也是这个方法的一则应用。证明与上面的停机问题证明如出一辙，只不过把Mi换成了一个形式系统内的公式fi，具体的证明就留给聪明的你吧。

（待续；此文的修订版已收录《暗时间》一书，由电子工业出版社2011年8月出版。作者于2009年7月获得南京大学计算机系硕士学位，现在微软亚洲研究院创新工程中心从事软件研发工程师工作。）