【果壳探索】纸上谈兵：萨尔浒之战以少胜多的原理

历史上那些以少胜多的战役总是被后人津津乐道，因为它们时常让人觉得有些不可思议。这一次，本文用数学解析战争，讲述了明清之间最重要的一场战役——萨尔浒之战以少胜多背后的数学故事。来看死理性派挥斥方遒，纸上谈兵吧。

小时候我们都学过纸上谈兵这个词。其实历史上纸上谈兵的并非只有赵括一人，还有数学家。1914年一战期间，英国工程师弗雷德里克•兰彻斯特（我敢打赌这家伙是一个死理性派）异想天开地用数学解析战争，创立了著名的兰彻斯特战斗模型。通过它，我们能很容易地发现以少胜多背后的数学故事，比如经典的萨尔浒之战。

但在故事开始前，有必要说明的是，这只是 一个简化的数学模型 ，忽略了一些难以量化的因素，譬如天时、地利、人和以及政治因素，而它们对战争也有举足轻重的影响。事实上，从科学角度讲，研究结果仅对研究的模型有效。不过我们都知道，研究总是从基础模型开始的。

用兰彻斯特模型解析战争

（果壳网/图）

这个著名的兰彻斯特战斗模型，实际上是一个讨论参战方战斗力和时间关系的模型，可以用来宏观地描述参战双方的战斗力损耗过程。这样说或许有些抽象，让我们先思考一个问题，现在有两支军队 A 军和 B 军。A 军以精锐著称，但兵力只有 B 军的一半，B 军人多势众，但单兵作战能力平均只有A军士兵的一半, 除此之外它们其他方面全部是等同的。如果这两支军队交战，一支军队消灭另一支军队即为胜利，你认为谁将是这场战斗的赢家？读者们不妨先选定一个答案（ A 胜、B 胜或者玉石俱焚），然后再来看看兰彻斯特战斗模型怎么说。

假设现在有一场战斗，交战的双方为甲方和乙方。我们规定它们在战斗中某一时刻的战斗力（冷兵器时代，一般情况下就是部队中士兵的人数）分别是 x( t ) 和 y( t ) ，其中t表示时间。同时为方便起见，假设 x( t ) 和 y( t ) 都是关于 t 的连续可微函数，且恒为非负。换言之，双方的战斗力都是随着时间连续变化的，不可能在某一时刻发生突变（譬如《西游记》中的孙悟空从天宫搬来救兵），也不可能在某一时刻有变化率的突变（譬如打架的时候被对方一巴掌打通任督二脉）。

在此基础上，我们再假设某方战斗力的变化都是由于敌方对它的攻击造成的，这样战斗力在某一时刻的变化量，便只和该时刻对方的战斗力正相关。

据此我们可