通往博格莫洛夫猜想的旅程

近日，数学期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）正式接收了北京大学数学教授、被誉为“北大数学黄金一代”其中之一的袁新意独立完成的论文《算术大性与一致博格莫洛夫型结果》（Arithmetic bigness and a uniform Bogomolov-type result）。

《数学年刊》是世界顶级数学期刊之一，它和《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）、《数学学报》（Acta Mathematica）以及《美国数学会杂志》（Journal of the American Mathematical Society）一起，并称为数学“四大顶刊”。许多重要的数学研究成果，诸如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明，以及张益唐对孪生素数猜想的突破性进展等，都发表在《数学年刊》上。

2018年袁新意在加州大学伯克利分校讲课。（资料图）

袁新意教授的这篇论文，延续了他在算术几何，特别是丢番图几何领域一直以来的工作。同时，这也是对博格莫洛夫猜想及其相关问题研究的最新进展。

丢番图问题

博格莫洛夫猜想，由科朗数学科学研究所教授费尔多·博格莫洛夫（Fedor Bogomolov）提出。这一猜想和一个古老的数学问题有关，那就是求解丢番图方程。

在数学上，方程是一个非常基本的概念。含有未知数的等式叫做方程，而求出方程中未知数的具体数值，或者证明方程不存在解的过程，就叫做“解方程”。数学家们求解各种方程的过程，贯穿了长达数千年的整个数学史。

所谓的丢番图方程，则是一类非常特殊的方程，这一类方程也被叫做“不定方程”。它指的是整数系数的多项式方程。而所谓的丢番图问题，指的是要求出丢番图方程的所有整数解，或者证明其不存在任何整数解。

例如，勾股定理“平面上的直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方”，用等式写出来为x^2+y^2=z^2。这就是一个丢番图方程。而“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是这个丢番图方程的一个解。

丢番图方程的名字来源于3世纪希腊数学家丢番图。在其所著的著作《算术》（Arithmetica）中，就有关于丢番图问题的内容。

1637年，法国数学家费马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”

费马的这一论述，就是日后著名的费马大定理。这一定理的证明，则要