似乎一夜之间，AI就攻陷了数学

（视觉中国/图）

随着GPT热潮的不断发展，包括ChatGPT在内的大型语言模型（Large Language Model；LLM）开始逐渐进入各种原来被认为是人类智力活动专属的领域当中。例如，菲尔兹奖得主、华裔数学家陶哲轩就在一篇博客中宣称，他已经开始使用GPT-4来协助自己的工作。而2023年6月27日发布在预印本网站（arXiv）上的一篇由加州理工、英伟达、MIT等机构的学者共同撰写的论文声称，他们构建了一个基于开源LLM的定理证明器。似乎一夜之间，AI就攻陷了数学，这个人类智慧最纯粹的领域之一。

实际上，追本溯源起来，数学家寻找自动化证明的过程，已经有一百多年的历史了。甚至计算机的诞生与发展，也与这一探寻过程有着密不可分的关系。

数学基础与哥德尔不完备定理

在1900年4月27日英国皇家学会的一次演讲上，物理学家开尔文男爵发表了著名的物理学“两朵乌云”的演讲。后来的事情大家都知道了，两朵乌云掀起了狂风暴雨，从中诞生了二十世纪现代物理学的两大支柱——相对论和量子力学。

就在开尔文男爵发表演讲的同一年，数学家大卫·希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，作了题为《数学问题》的演讲，提出了二十三道他认为最重要的数学问题。这些问题随后被称作“希尔伯特问题”或者“希尔伯特的23个问题”。针对这些问题的研究，在很大程度上促进了二十世纪数学的发展。

在希尔伯特提出的这23个问题当中，就有诸如“连续统假设”“算术公理之相容性”“公理化物理”这样涉及数学以及科学基础的问题。这些问题的提出，来源于希尔伯特的雄心壮志：他希望能够建立起一套统一的数学公理化体系。不止于此，在公理化体系之上，他还有一个更加宏大的设想，那就是所谓的“希尔伯特形式主义纲领”。

按照希尔伯特的设想，他想要建立的形式化的数学公理体系应该满足三个条件。即：完备性：可以发现所有数学真命题；自洽性：数学内部不存在矛盾；可决定性：能够判断每一个数学命题的真伪。

作为数学家的希尔伯特，他所关心的是“数学大厦”本身如何建造。至于这座大厦的地基建在哪里，在希尔伯特看来是一件无需考虑的事情。但是，就是这件“无需考虑”的事情，却出现了意想不到的问题。

1901年，年仅29岁的英国哲学家罗素发现了著名的罗素悖论。这一悖论，最简单的表述形式就是所谓的“理发师悖论”。即：小城里的理发师放出豪言：他要为城里人刮胡子，而且一定只要为城里所有“不为自己刮胡子的人”刮胡子。那么，理发师该为自己刮胡子吗？

这一悖论说明了，当时作为“数学大厦”的基础的朴素集合论，在逻辑上是不严谨的。这就是所谓的“第三次数学危机”。为此，数学家们最终将朴素集合论发展成了公理化集合论。更为重要的是，数学家们认识到，不仅数学本身需要公理化，数学基础更需要公理化。

为此，罗素和他在剑桥大学三一学院时的老师、著名哲学家怀特海德，花费了十年时间，完成了三卷本的巨著《数学原理》。

罗素的做法，属于对数学基础进行探究的另外一个学派：“逻辑主义”。这部三卷本的《数学原理》，正是逻辑主