【专栏】康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线（12）

罗素悖论

学过逻辑的人大约肯定是知道著名的罗素悖论的，罗素悖论用数学的形式来描述就是：

R = {X:X不属于X};

这个悖论最初是从康托尔的无穷集合论里面引申出来的。当初康托尔在思考无穷集合的时候发现可以称“一切集合的集合”，这样一个集合由于它本身也是一个集合，所以它就属于它自身。也就是说，我们现在可以称世界上存在一类属于自己的集合，除此之外当然就是不属于自己的集合了。而我们把所有不属于自己的集合收集起来做成一个集合R，这就是上面这个著名的罗素悖论了。

我们来看R是否属于R，如果R属于R，根据R的定义，R就不应该属于R。而如果R不属于R，则再次根据R的定义，R就应该属于R。

这个悖论促使了集合论的公理化。后来策梅罗公理化的集合论里面就不允许X属于X（不过可惜的是，尽管如此还是没法证明这样的集合论不可能产生出新的悖论。而且永远没法证明——这就是哥德尔第二不完备性定理的结论——一个包含了PA的形式化公理系统永远无法在内部证明其自身的一致（无矛盾）性。从而希尔伯特想从元数学推出所有数学系统的一致性的企图也就失败了，因为元数学的一致性又得由元元数学来证明，后者的一致性又得由元元元数学来证明…）。

这里我们只关心罗素是如何想出这个绝妙的悖论的。还是对角线方法！我们罗列出所有的集合，S1,S2,S3…

  S1 S2 S3 …

S1 0 1 1 …

S2 1 1 0 …

S3 0 0 0 …

……

右侧纵向列出所有集合，顶行横向列出所有集合。0/1矩阵的(i,j)处的元素表示Si是否包含Sj，记为Si(j)。现在我们只需构造一个新的0/1序列L，它的第i位与矩阵的(i,i)处的值恰恰相反：L(i)=1-Si(i)。我们看到，这个新的序列其实对应了一个集合，不妨也记为L，L(i)表示L是否包含Si。根据L的定义，如果矩阵的(i,i)处值为0（也就是说，如果Si不包含Si），那么L这个集合就包含Si,否则就不包含。我们注意到这个新的集合L肯定等于某个Sk（因为我们已经列出了所有的集合），L=Sk。既然L与Sk是同一集合，那么它们肯定包含同样的元素，从而对于任意n，有L(n)=Sk(n)。于是通过令n=k，得到L(k)=Sk(k)，而根据L的定义，L(k)=1-Sk(k)。这就有Sk(k)=1-Sk(k)，矛盾。

通过抽象简化以上过程，我们看到，我们构造的L其实是“包含了所有不包含它自身的集合的集合”，用数学的描述正是罗素悖论！

敏锐的你可能会注意到所有集合的数目是不可数的从而根本不能S1,S2…的一一列举出来。没错，但通过假设它们可以列举出来，我们发现了一个与可列性无关的悖论。所以这里的对角线方法其实可以说是一种启发式方法。

同样的手法也可以用到证明P(A)（A的所有子集构成的集合，也叫幂集）无法跟A构成一一对应上面。证明就留给聪明的你了。

（待续；此文的修订版已收录《暗时间》一书，由电子工业出版社2011年8月出版。作者于2009年7月获得南京大学计算机系硕士学位，现在微软亚洲研究院创新工程中心从事软件研发工程师工作。）