张益唐证明了什么？

加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐。 （视觉中国/图）

2022年11月5日，加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校教授、华人数学家张益唐在预印本网站（arXiv）上发布了一篇题为《离散平均估计与朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）的，共计110页的论文。这篇论文正是上个月张益唐在一次在线座谈活动中提到的，证明了朗道-西格尔零点猜想的工作。

如果这篇论文最终被验证是正确的，那么这将是近年来关于黎曼猜想相关问题的最大突破。虽然验证这项工作的正确性还需要比较长的一段时间，但是在这里，我们可以先简单地介绍一下朗道-西格尔零点猜想和黎曼猜想这一希尔伯特二十三问题和千禧年大奖难题双料难题的关系，同时也简单介绍一下张益唐所做的工作。

黎曼猜想与广义黎曼猜想

自人类文明诞生之初起，出于统计物品数量和丈量土地的需要，对数字和图形的计算便从未停止过。早期的数学就发端于这些日常活动。而对数字和图形的研究，则逐渐发展成为了数论和几何，这两个最为古老，也最为重要的数学分支。以至于在一百多年前，恩格斯都会在《自然辩证法》中写道：“数学是研究数量关系和空间形式的学科。”时至今日，即使数学相较于恩格斯写下那段话的时候，已经有了长足的发展，也出现了许多全新的数学分支。但是数论，这一专门研究整数的数学分支，仍然是最为纯粹，也最为重要的数学分支之一。“数学王子”高斯就曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”

而在数论的研究对象，整数，或者说自然数当中，有一类极为特殊的数，素数。也即像2、3、5、7、11……这样，仅能被1和它自身整除的数。因为素数本身的独特性，很多数论当中极为困难的猜想都和素数有关。例如哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等等等等。

黎曼猜想，就是一个关于素数整体规律的猜想。同时，它也是数论当中最为困难，也最为重要的未解难题之一。

这一猜想由德国数学家伯恩哈德·黎曼在1859年提出。那一年黎曼当选了柏林科学院通讯院士。作为对这一荣誉的回应，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文，日后被称为黎曼猜想的问题，就出自这篇论文。

在这篇论文中，黎曼定义了一个日后被称作“黎曼ζ（读作泽塔）函数” 的复值函数， 并用这个函数去研究素数的规律：

而在那篇论文中，黎曼还提到了一个他不知道怎么解决的问题：他猜测，黎曼ζ函数的所有非平凡零点，都在实部为1/2的这条直线上。并且这些非平凡的零点和素数分布的详细规律密切相关。这里之所以要强调非平凡零点，是因为诸如-2，-4，-6等等等等，所有的负偶数，都是黎曼ζ函数的零点，而这些零点是显而易见的，因此被称作平凡零点。除此之外的零点才是有研究意义的，它们则被称作是非平凡零点。

这就是此后困扰数学家们一百六十多年的黎曼猜想。

很容易就会发现，虽然都是数论中与素数有关的猜想，但是黎曼猜想在表述上和哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等有着很大的不同。相较于“任意大于2的偶数都可以写作两个素数的和”“有无穷多对相邻的素数对”这样简单直白的问题描述，黎曼猜想在表述上显得复杂得多。先是定义了一个很复杂的函数，