【专栏】康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线（4）

递归的迷思

敏锐的你可能会发现，就以上这两条公理，我们的lambda语言中无法表示递归函数，为什么呢？假设我们要计算经典的阶乘，递归描述肯定像这样：

f(n):

if n == 0 return 1

return n*f(n-1)

当然，上面这个程序是假定n为正整数。这个程序显示了一个特点，f在定义的过程中用到了它自身。那么如何在lambda算子系统中表达这一函数呢？理所当然的想法如下：

lambda n. If_Else n==0 1 n*<self>(n-1)

当然，上面的程序假定了If_Else是一个已经定义好的三元操作符（你可以想象C的“?:”操作符，后面跟的三个参数分别是判断条件、成功后求值的表达式、失败后求值的表达式。那么很显然，这个定义里面有一个地方没法解决，那就是<self>那个地方我们应该填入什么呢？很显然，熟悉C这类命令式语言的人都知道应该填入这个函数本身的名字，然而lambda算子系统里面的lambda表达式（或称函数）是没有名字的。

作者：刘未鹏 出版：电子工业出版社

怎么办？难道就没有办法实现递归了？或者说，丘齐做出的这个lambda算子系统里面根本没法实现递归从而在计算能力上面有重大的缺陷？显然不是。马上你就会看到Y combinator是如何把一个看上去非递归的lambda表达式像变魔术那样变成一个递归版本的。在成功之前我们再失败一次，注意下面的尝试：

let F = lambda n. IF_Else n==0 1 n*F(n-1)

看上去不错，是吗？可惜还是不行。因为let F只是起到一个语法糖[1]的作用，在它所代表的lambda表达式还没有完全定义出来之前你是不可以使用F这个名字的。更何况实际上丘齐当初的lambda算子系统里面也并没有这个语法元素，这只是刚才为了简化代码而引入的语法糖。当然，了解这个let语句还是有意义的，后面还会用到。

【注释】

[1]语法糖是编程语言中的一种说法，其作用在于使对象便于阅读和表达。

（待续；此文的修订版已收录《暗时间》一书，由电子工业出版社2011年8月出版。作者于2009年7月获得南京大学计算机系硕士学位，现在微软亚洲研究院创新工程中心从事软件研发工程师工作。）